[논문번역] 3D Topological Quantum Computing

제목 : 3D Topological Quantum Computing

저자 및 관련 : Torsten Asselmeyer-Maluga German Aerospace Center (DLR), Rosa-Luxemburg-Str. 2 10178 Berlin, Germany torsten.asselmeyer-maluga@dlr.de

 

2107.08049.pdf

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3D 위상 양자 컴퓨팅

토르스텐 아셀마이어-말루가

독일 항공 우주 센터(DLR), Rosa-Luxemburg-Str. 2

10178 베를린, 독일

torsten.asselmeyer-maluga@dlr.de

2021년 7월 20일

요약

이 백서에서 우리는 양자화를 위해 3D 토폴로지를 사용하기 위한 몇 가지 아이디어를 제시할 것입니다.

tum computing 이전 논문에서 아이디어를 확장합니다. 위상 양자

tum 컴퓨팅은 위상 위상의 "매듭" 양자 상태를 사용했습니다.

anyons라고 불리는 문제. 그러나 누구나 표면 토폴로지와 연결됩니다.

그러나 표면에는 (일반적으로) 아벨 기본 그룹이 있으므로 하나의

양자 컴퓨팅에 사용하려면 abelian이 아닌 사람이 필요합니다. 하지만 평소

재료는 더 복잡한 토폴로지를 허용할 수 있는 3D 개체입니다.

여기서 매듭의 보완은 중요한 역할을 하며 원칙적으로

3-매니폴드 토폴로지를 이해하기 위한 주요 부분. 이를 위해 우리는

매듭의 보완물에 양자 시스템을 구성할 것입니다.

3구( 이전 작업 은 arXiv:2102.04452 참조 ). 전체 시스템은

모든 횡단이 Josephson인 매듭이 있는 초전도체로 설계

접합 및 큐비트는 플럭스 큐비트로 구현됩니다. 우리는 적절한-

이 시스템의 관계 특히 플럭스 양자화를 사용하여

매듭의 A-다항식. 또한 우리는 2-큐비트 연산이

연결(매듭)된 초전도체를 다시 결합하여 실현할 수 있습니다.

조셉슨 교차로를 통해

1. 소개

양자 컴퓨팅은 초능력과 같은 양자 역학 현상을 이용합니다.

많은 경우에 데이터에 대한 작업을 수행하기 위한 위치 및 얽힘

고전적인 컴퓨터에서는 효율적으로 수행할 수 없습니다. 위상 양자

컴퓨팅은 비 Abelian을 활용하여 보다 탄력적인 큐비트를 구현하려고 합니다.

양자 정보를 저장하기 위해 non-abelian anyons와 같은 물질 형태. 그때,

연산(양자 게이트라고 생각할 수 있는 것)은 이들에 대해 수행됩니다.

anons의 세계선을 "땋기"를 통해 큐비트. 우리는 책을 참조합니다 [ 1]

이러한 아이디어를 소개합니다.

이전 논문[ 2]에서 우리는 3-매니폴드 토폴로지를 사용하는 첫 번째 아이디어를 설명했습니다.

토폴로지 양자 컴퓨팅. 거기에서 우리는 매듭 보완에 대해 다음과 같이 논의했습니다.

3-매니폴드의 주요 부분. 매듭 보완의 주요 위상 불변량

1

arXiv:2107.08049v1 [quant-ph] 2021년 7월 16일

---

2 쪽

기본 그룹[ 3] 입니다. 이전 논문에서 우리는 대표성에 대해 논의했습니다.

기본 그룹을 SU(2)로 변환하여 1큐비트 연산을 생성합니다.

또한 우리는 링크가 2-큐비트 연산을 생성할 수 있다고 주장했습니다.

접근 방식의 보편성. 작업은 con-

베리 단계의 편애. 대조적으로, 이 논문에서 우리는 1-qubit를 실현할 것입니다.

매듭된 초전도체를 통한 매듭군의 작동. 여기서 횡단보도

매듭을 모방하기 위해 Josephson 접합에 의해 주어집니다. 또한 2큐비트

두 개의 매듭이 있는 초전도체를 연결함으로써 작동이 다시 실현됩니다.

[ 2] 와 일치하는 Josephson 요소 .

다음 섹션에서는 기본 그룹의 개념을 소개합니다.

그리고 매니폴드. 또한 매듭 보완의 중요성을 설명합니다. 에

섹션 3 우리는 부분적으로 [2]에서 매듭 그룹의 표현을 설명하여

종이 자체 포함. 그런 다음 섹션 4 에서 매듭이 있는 모델을 소개합니다.

플럭스 큐비트가 있는 초전도체. 여기에서 우리는 플럭스 양자화에 대해 논의할 것입니다.

(A-다항식 사용) 및 Josephson 접합의 영향. 본관

결과는 연결에 의한 2큐비트 연산의 구현입니다.

2 몇 가지 예비 및 동기: 3-다양성

및 매듭 보완

이 논문에서는 기본 그룹과 다양체라는 두 가지 개념이 필요합니다.

지금 소개할 것입니다. 우리는 독자가 다음을 잘 알고 있다고 가정합니다.

토폴로지 공간의 정의. X, Y를 위상 공간이라고 하자. 먼저 고려

한 쌍의 맵에 적용되는 호모토피의 정의 f,g : X → Y.

• f,g : X → Y를 연속함수라 하자. f 및 g는 각각에 대해 동종입니다.

기타, 연속 함수 F가 있는 경우 f ≃ g로 표시: X×[0, 1] → Y

모든 x ∈ X에 대해 F(x, 0) = f(x) 및 F(x, 1) = g(x)입니다.

• 함수 F는 한 맵을 다른 맵으로 변형합니다. 분명히,

이 관계는 등가 관계입니다. 동형의 동등 클래스

X와 Y 사이의 맵은 다음과 같이 표시됩니다.

[X, Y ] = {f : X → Y 연속 }/ ≃

.

이 관계는 공간의 호모토피 등가 개념으로 이어집니다.

• 두 개의 위상 공간 X와 Y는 두 개의 위상 공간이 있는 경우 호모토피와 동일합니다.

부드러운 맵 f : X → Y 및 g : Y → X

f ◦ g ≃ 아이디 Y

g ◦ f ≃ 아이디 X

여기서 Id X 및 Id Y 는 각각 X 및 Y 의 ID 맵입니다.

일반적으로 정의

π n (X, x 0 ) = [(S n ,s 0 ), (X, x 0 )] ,

2

 

---

3페이지

뾰족한 구에 대한 지도의 호모토피 등가 클래스

우주. 그룹을 지칭하기 위해 "그룹"이라는 단어를 사용했기 때문에 다음을 정의해야 합니다.

결합 작업.

여기에서 n = 1인 경우 π 1 , 기본 그룹이 필요합니다. 이것은 루프입니다

공간, 모듈로 부드러운 변형 또는 수축. 여러 가지 방법이 있습니다

그룹 결합 작업을 정의합니다. 우리는 쉽게 확장 가능한 것을 선택합니다

n = 1에서 일반적인 경우까지. S 1 ∨ S 1 을 다음과 같이 정의된 1점 합집합 이라고 하자.

S 1 ∨ S 1 = S 1 × {s 1 } ∪ s 0 ≡s 1 {s 0 } × S 1 ⊂ S 1 × S 1

(s 0 ,s 1 ).

이제 곱을 정의하십시오. γ 1 ⋆ γ 2 : S 1 → X 지도 γ 1 ,γ 2 : S 1 → X to

γ 12 : S 1 → X는 반대되는 두 개를 식별하는 프로세스에 의해 기하학적으로 정의됩니다.

자연적으로 정의된 지도와 함께 원 S 1 의 점 . 그런 다음 이것을 결합합니다.

γ 1 , γ 2 맵 을 사용하여 제품 γ 1 ⋆ γ 2 를 정의합니다 . 이것은 제공합니다

일반적으로 abelian이 아닌 그룹 제품 구조

이 항목에서 위쪽 및 아래쪽 원을 전환하는 ID에 동형을 매핑합니다.

도표. 이 제품의 연관성에 대한 증거는 예를 들어 찾을 수 있습니다.

에 [4 ] 법안 14.16. 이러한 형식적 정의는 다음과 같이 간단하게 해석할 수 있습니다.

• 기본 그룹 π 1 (X)의 요소는 닫힌 비수축 곡선입니다.

(단위 요소 e는 수축 곡선);

• 그룹 연산은 호모토피까지 닫힌 곡선의 연결입니다.

(연관성을 보장하기 위해);

• 역 그룹 요소는 방향이 반대인 닫힌 곡선입니다.

• 기본 그룹 π 1 (X)은 위상 불변, 즉 동형

공간 X, Y에는 동형 기본 그룹이 있습니다.

• 공간 X는 (일반적으로) 경로 연결되어 있으므로 점 x 0 의 선택

임의적입니다.

분명히, R 2 , R 3 의 모든 닫힌 곡선 은 수축 가능하므로 π 1 (R 2 ) = 0 =

π 1 (R 3 ). 그룹은 원 π 1 (S 1 )에 대해 중요하지 않습니다 . 분명히 곡선은

원 주위를 도는 것은 (한 점까지) 수축할 수 없는 닫힌 곡선입니다.

두 개의 닫힌 곡선을 연결 a 2 , 세 곡선 a 3을 연결하는 경우에도 마찬가지입니다.

등. 따라서 S 1의 폐곡선 은 권선 수를 특징으로 합니다.

닫힌 곡선 또는 π 1 (S 1 ) = Z, 자세한 내용은 [4 ]를 참조하십시오. 일반적으로 기본적인

그룹은 관계에 의해 제한되는 일련의 생성기(알파벳)로 구성됩니다.

(문법). π 1 (S 1 )에 대해 하나의 생성기 a가 있지만 관계는 없습니다. 즉,

π 1 (S 1 ) = 〈a| ∅〉 = Z

유사한 논쟁은 S 사용될 수 1 ∨ S (1) , 두개의 원 포인트 연합

원. 첫 번째 원의 닫힌 곡선은 생성기이고 두 번째 원의 닫힌 곡선은

ㄴ이다. 관계가 없다, 즉

π 1 (S 1 ∨ S 1 ) = 〈a, b| ∅〉 = Z * Z

그룹이 비-아벨리안입니다(시퀀스 ab와 ba가 다름). 두번째

우리 작업의 구성 요소는 다음과 같이 정의되는 매니폴드의 개념입니다.

삼

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4페이지

• M을 다음의 (가산) 패밀리로 덮인 하우스도르프 위상 공간이라고 하자.

열린 집합 U, 동종형성과 함께, φ U : UU → U R , 여기서

U R 은 R n 의 열린 집합입니다 . 이것은 M을 토폴로지 매니폴드로 정의합니다. 에 대한

평활도는 정의된 경우 φ U · φ −1이 필요합니다.

V

R n 에서 매끄럽다 .

표준 다변수 미적분학 감각. 패밀리 A = {U,φ U }는

아틀라스 또는 미분 구조라고 합니다. 분명히 A는 고유하지 않습니다.

두 지도책의 합집합도 지도책인 경우 두 지도책이 호환 가능하다고 합니다. 에서

이것은 최대 지도책의 개념을 제공합니다. 마지막으로, 쌍 (M, A),

극대값은 차원 n의 부드러운 다양체를 정의합니다.

이제 우리는 2차원 및 3차원 매니폴드에 집중할 것입니다.

줄여서 3-매니폴드. 2-다기관의 경우 기본 요소는 2-구입니다.

S 2 , 토러스 T 2 또는 Klein 병 RP 2 . 그런 다음 분류를 위해 가져옵니다.

2개의 매니폴드:

• 모든 소형, 폐쇄형, 지향성 2-다양체 S g 는 다음 중 하나에 동형입니다.

S 2 (π 1 (S 2 )=0) 또는 연결된 합

S g = T 2 #T 2 # ... #T 2

︸

︷︷

︸

지

π 1 (S g ) = Z ⊕···⊕ Z

︸

︷︷

︸

2g

고정 속의 T 2 g. 모든 소형, 폐쇄형, 무방향성 2-매니폴드

연결된 합과 동형이다.

RP

2 #RP 2 # ... #RP 2

︸

︷︷

︸

지

π 1 (~S g ) = 〈a 1 ,...,a g | 2

1 ··· 에이 2

g = e>

고정 속의 RP 2 g.

• 경계가 있는 모든 소형 2-매개체는 다음 중 하나에서 얻을 수 있습니다.

이러한 경우 중 하나에서 특정 수의 디스크 D 2 를 잘라냅니다 .

연결된 합계.

연결된 합계 연산 #은 다음과 같이 정의됩니다. M,N을 두 개의 n-다양체로 둡니다.

경계 ∂M, ∂N. 연결된 합 M#N은 절단의 절차입니다.

내부 int(M) \ D n 및 int(N) \ D n 에서 디스크 D n 을 다음과 같이 추출합니다 .

경계 S n−1 ⊔ ∂M 및 S n−1 ⊔ ∂N을 각각 연결하고

공통 경계 성분 S n−1 을 따라 . 이 작업은 다음을 위해 중요합니다.

3-매니폴드도. 그러나 3-다양체의 분류는 더 복잡합니다. 폴-

Thurston의 아이디어를 낮추기 위해 2개를 사용하여 배열된 8개의 조각이 필요합니다.

합계(토러스를 따른 합계 및 연결된 합계). 우리는 세부 사항에 들어가기를 원하지 않습니다

3-다양체(Thurston의 추측)에 대한 설명은 [5 , 6]을 참조하십시오.

2003년 Perelman[7 , 8, 9]에 의해 증명되었습니다 . 다음 사실은 결과입니다

이 분류의:

• 3-다양체는 주로 기본 그룹(및 Rei-

렌즈 공간을 위한 디마이스터 비틀림),

4

 

 

 

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5페이지

• 3-다양체의 기본 그룹은 non-abelian일 수 있습니다.

지향성 2-다기관 가능

• 3-다양체의 가장 간단한 조각은 주로 다음의 보수로 주어집니다.

매듭 또는 링크.

마지막 요점도 이 논문의 주된 동기이다. 토포와는 대조적으로

논리 양자 컴퓨팅, 우리는 3-다양체를 직접 사용할 수 없습니다.

부분적 양자 홀 효과의 표면과 같은 서브다양체). 표면(또는

2-다양체)는 R 3 과 같은 3 차원 공간에 임베드 되지만 3-다양체는 다음이 필요합니다.

R 5와 같은 차원 공간 5 매립 공간있다. 따라서 우리는 할 수 없습니다.

3-매니폴드를 직접 사용하십시오. 그러나 위에서 논의한 것처럼 그룹 이론이 있습니다.

매듭 보완의 기본 그룹인 3개의 다양체를 대신합니다.

지금 소개할 매듭 그룹으로 알려져 있습니다.

수학에서 매듭은 원의 K : S 1 → S 3 을 삽입하는 것입니다.

3-구 S 3 (또는 R 3 ), 즉 닫힌 매듭 곡선 K(S 1 )(또는 줄여서 K). 에

매듭 보완을 형성하려면 두꺼운 매듭 K × D 2 (knotted

솔리드 토러스). 그런 다음 매듭 보수는 다음과 같이 정의됩니다.

C(K) = S 3 \ (K × D 2 )

매듭 그룹 π 1 (C(K))은 매듭 보수의 기본 그룹입니다.

매듭의 보수 C(K)는 경계가 ∂C(K) = T 2 인 3-다양체입니다 . 그것

프라임 매듭은 쌍곡선 매듭의 두 가지 클래스로 나뉩니다.

(C(K)는 쌍곡선 구조를 허용함) 및 비 쌍곡선 매듭(C(K)은 쌍곡선 구조를 허용함)

다른 7개의 기하학적 구조 중 하나). 분리된 원의 임베딩

S 3 으로 들어가는 것을 링크 L이라고 합니다. 그러면 C(L)은 링크 보수입니다. 우리가 말하면

약 3-manifolds에 대해 C(K)를 기본 조각 중 하나로 간주해야 합니다.

또한 Gordon-Luecke 정리가 있습니다.

homeomorphic는 다음 매듭 ([3 참조 동일 ] 의 for 문

정확한 정리). 흥미롭게도 프라임 매듭의 매듭 보수가 결정됩니다.

기본 그룹에 의해.

3 매듭 그룹 및 양자 컴퓨팅 표현

문장

모든 매듭은 다중선이 없는 평면에 투영으로 나타낼 수 있습니다.

2배가 넘는 포인트. 예를 들어 가장 간단한 것을 생각해 봅시다.

매듭, 트레포일 매듭 3 1 (3개의 교차로 매듭). 의 평면 투영

trefoil은 그림 1에 나와 있습니다. 이 투영은 세 개의 호로 나눌 수 있습니다.

각 호 주위에 π 1 (C(3 1 ))의 생성기로 닫힌 곡선 이 있습니다.

A, B, C (도 참조 . 2). 이제 각 교차점은 해당하는

생성기: c = a −1 ba, b = c −1 ac, a = b −1 cb, 즉 매듭 그룹을 얻습니다.

π 1 (C(3 1 )) = 〈a, b, c | c = a −1 ba, b = c −1 ac, a = b −1 cb〉

5

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그림 1: 가장 간단한 매듭, trefoil 매듭 3 1

그림 2: trefoil 매듭 3 1 의 매듭 그룹의 3개의 생성기 a, b, c

그런 다음 식 c = a -1 ba를 다른 관계식으로 대체하여 다음 을 얻습니다.

두 개의 생성기와 하나의 관계가 있는 매듭의 표현. 관계에서

a = b −1 cb a = b −1 (a −1 ba)b 또는 bab = aba 및 다른 관계식

b = c −1 ac는 새로운 것을 제공하지 않습니다. 마지막으로 우리는 결과를 얻을 것입니다 [ 10, 11]

π 1 (C(3 1 )) = 〈a, b | 밥 = 아바>

그러나이 그룹도 잘 알려져 있습니다. 세 가닥 의 브레이드 그룹 B 3 입니다.

이제 양자 컴퓨팅에 대해 알아보겠습니다. 주요 아이디어는

큐비트에 대한 작업(게이트)으로 브레이드 그룹 B 3 의 해석 . 로부터

보기의 수학 지점, 우리는 B의 표현 고려해야 할 3 에

SU(2), 즉 동형

φ : B 3 → SU(2)

생성기의 시퀀스(단어라고 함)를 다음의 요소로 행렬에 매핑

수(2). 처음에 우리는 SU(2)의 행렬 형식이

남 =

( z

승

− ¯w z

)

|z| 2 + |w| 2 = 1

여기서 z와 w는 복소수입니다. 이제 우리는 잘 알려진 기반을 선택합니다.

수(2):

1 =

( 1 0

0 1

)

나는 =

( 나는

0

0 - 나는

)

j =

( 0

1

-1 0

)

k =

( 0 나는

나는 0

)

6

 

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그림 3: 그림 8 매듭 4 1 .

그래서

M = a1 + bi + cj + dk

a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1 (그리고 z = a+bi, w = c+di). 1, i, j, k의 대수는 다음과 같습니다.

쿼터니언으로 알려져 있습니다. 모든 표현 중에서 가장 간단한 예가 있습니다.

g = e 7πi/10 , f = iτ + k

√

τ, h = fgf -1

여기서 τ 2 + τ = 1이고 행렬 표현이 있습니다.

지 =

( e i7π/10

0

0

e -i7π/10

)

f =

( 나는

나는

√

τ

나는

√

τ -iτ

)

그러면 g, h는 ghg = hgh B 3 의 관계를 만족 합니다. 이 표현은 알려져 있습니다

SU(2)에 대한 B 3 의 피보나치 표현으로 . 피보나치 표현

SU(2)에서 조밀합니다( [12 , 1] 참조) . 피보나치 표현은 일반적으로 다음에서 사용됩니다.

애니닉 양자 컴퓨팅. 브레이드의 특별한 표현을 나타냅니다.

SU(2)로 그룹화합니다. 트레포일 매듭의 경우 매듭 그룹은 브레이드 그룹입니다.

B 3 매듭 그룹의 표현이 표현과 일치하도록

임의의 양자 컴퓨팅에서. trefoil 매듭과 관련된 3-다양체

푸앵카레 영역입니다.

그러나 더 복잡한 매듭이 있습니다. 매듭의 복잡성은

교차 횟수로 측정됩니다. 세 개의 교차점이 있는 하나의 매듭만 있습니다.

(trefoil) 및 4개의 교차점이 있습니다(그림-8). 그림 8 매듭 4 1의 경우 (그림 참조

3 ), 매듭 그룹은 다음과 같이 주어진다.

π 1 (C(4 1 )) = 〈a, b | bab −1 ab = aba −1 ba〉

표현 φ를 SU(2)에 허용, [13 ] 참조 . 여기서 우리는

그림 8 매듭은 쌍곡선 매듭이라고 하는 대규모 클래스의 일부입니다. 쌍곡선

매듭은 매듭 보완이 허용하는 속성이 특징입니다.

쌍곡선 기하학. 쌍곡선 매듭 보완에는 특별한 속성이 있습니다.

특히 토폴로지와 기하학은 특별한 방식으로 연결됩니다. 본부

속성은 소위 Mostow-Prasad 강성[ 14 , 15]입니다.

공간이 아이소메트리이거나 부피 또는 곡률과 같은 기하학적 속성이

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위상 불변. 특히 쌍곡선 구조는 다음과 같이 사용할 수 있습니다.

새로운 불변량을 얻습니다(그러나 쌍곡선 매듭에만 해당). 잘 알려진 불변량은

다음 섹션에서 사용될 A-다항식 [16 , 17].

4 매듭이 있는 초전도체 및 매듭 그룹

이 섹션에서는 다음을 사용하여 매듭 보완을 구현하는 첫 번째 아이디어를 제시합니다.

매듭이 있는 초전도 링.

양자 컴퓨팅을 위한 초전도체의 사용은 세 가지로 나뉩니다.

가능한 실현: 전하 큐비트, 플럭스 큐비트 및 위상 큐비트 뿐만 아니라 많은 hy-

Bridization은 Fluxonium [18 ], Transmon [19], Xmon [20] 및 Quantro-

늄 [ 21] . 논리적 양자 상태로 큐비트 구현 |0〉, |1〉은 다음과 같습니다.

시스템의 다른 상태에 대한 매핑으로 실현됩니다. 그러므로 우리는

매듭이 있는 초전도체의 상태를 처리합니다. 초전도체의 경우,

응축수의 단일 파동 기능이 있습니다. 큐빗 구현을 위해,

우리는 서로 다른 에너지에서 두 파동 함수의 중첩을 고려해야 합니다.

상태. 매듭이 있는 초전도체는 위쪽과 위쪽에 조셉슨 접합이 있습니다.

횡단보도 아래. ψ 1 과 ψ 2 를 오버 또는 언더에서의 파동 함수라고 하자.

횡단. Ginsburg-Landau 이론을 사용하여 우리는 현재

j =

eV

미디엄

|ψ 1 | 2 죄(Φ 12 )

여기서 V는 전위차이고 Φ 12 는

두 개의 파동 함수. 매듭이 있는 초전도체가 단일 상태로 구성된 경우,

|0>이라고 말하면 위 또는 아래 교차로의 Josephson 교차점에는

전위차가 없기 때문입니다. 두 상태의 경우 |0〉과

|1〉, 에너지 차이가 ​​있고 하나는 두 상태 사이에 결합을 얻습니다.

|0〉, |1〉

나는

디

dt

(|0〉

|1〉

)

=

(

전자 1

V e iφ

V e -iφ

전자 2

)( |0〉

|1〉

)

= H

(|0〉

|1〉

)

여기서 V는 에너지 차이 E 1 − E 2 와 다음 사이의 커플링 에 따라 달라집니다.

상태. 그러면 우리는 해밀턴을 얻습니다.

H 루프 = E 1

1 + σ Z

2

+ 전자 2

1 - σ Z

2

+ V · cos φ · σ x + V · sin φ · σ y

파울리 행렬의 관점에서 단일 상태에 대해 작용(거짓의 생성자로서

SU(2)의 대수학). 동일한 Hamiltonian은 Josephson 접합에도 적용됩니다.

매듭 그룹의 발전기 a, b, c에 배치됩니다(그림 2 참조 ). 에서

이전 섹션에서는 생성기의 표현을 추상적으로 설명했습니다.

여기에서 에너지와 결합은 표현을 결정합니다. 이제 선택하자

발전기용 조셉슨 접합 a. 또한 우리는 에너지를 트림

|0〉이 에너지 E를 갖고 |1〉이 에너지 -E를 갖도록 접합을 통해 레벨을 조정합니다. 에 대한

단순성 위상 편이 φ = 0을 무시합니다. 그런 다음 Hamiltonian을 얻습니다.

H 1 = E · σ z + V · σ x

8

 

 

 

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9페이지

그림 4: Hopf 링크 L2a1.

작은 커플링의 경우 피보나치 표현의 생성기 g를 얻습니다.

(이전 섹션 참조). 커플 링이 더 강하면 원칙적으로

피보나치 표현의 다른 생성자 f(적절한 선택에 의해

에너지).

이전 논문 [ 2 ]에서 우리는 매듭에서 1-큐비트 연산을 구성했습니다.

보어. 또한 우리는 두 매듭의 연결이 필요하다고 주장했습니다.

2큐비트 연산을 생성합니다. 가장 간단한 링크는 Hopf 링크입니다(

L2a1, 그림 4 참조 ), 두 개의 연결되지 않은 곡선. 매듭 그룹의

Hopf 링크 L2a1, 즉 Hopf 링크 의 기본 그룹 π 1 (C(L2a1))

보수 C(L2a1)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

π 1 (C(L2a1)) = 〈a, b | aba −1 b −1 = [a, b] = e〉 = Z ⊕ Z

에서는 [13 ], 매듭 링크 그룹의 표현을 설명한다. [22]와 같이,

이 표현은 소위 타래 모듈과 관련이 있습니다. 타래

모듈은 이러한 표현의 변형 양자화로 볼 수 있습니다.

그런 다음 skein 모듈의 관점에서 Hopf 링크의 표현은 다음과 같습니다.

각 구성 요소에 SU(2)를 나타내는 것으로 해석됩니다. 그 의미는

모든 구성 요소는 SU(2) 표현, 즉 매듭 그룹과 관련됩니다.

π 1 (C(L2a1))은 SU(2)⊗SU(2)로 표시됩니다. 초전도 점에서

관점에서, 하나 는 하나의 링에 하나의 큐비트 ψ 1을 배치 하고 다른 링에 두 번째 큐비트 ψ 2 를 배치합니다.

반지. 다시, 커플링은 ψ 1 , ψ 2 사이의 Josephson 접합에 의해 실현됩니다.

방정식으로 설명

나는

디

dt

( ψ 1

ψ 2

)

=

( 이

V

V

-E

)( ψ 1

ψ 2

)

여기서 우리는 ψ 1 이 에너지 E를 갖고 ψ 2 가 에너지를 갖도록 에너지 준위를 조정했습니다.

-E. 그러면 Hamiltonian은 다음과 같이 주어진다.

H 2 = E · σ z + V · σ x

2 큐비트 상태에서 작동합니다. 그러나 두 상태 ψ 1 ,ψ 2 모두 (|0〉, |1〉)로 분해됩니다.

이 벡터의 수준에서 우리는 Hamiltonian H 1⊗2 =

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H 2 ⊗ H 1 즉

H 1⊗2 = (E · σ z + V · σ x ) ⊗ (E · σ z + V · σ x )

해밀 토니안은이 σ 등에 적합한 구조, 즉 커플 링을 갖는 Z ⊗ σ X 실현할을

2큐비트 연산. 예를 들어, Hamiltonian에 의해 주어진 CNOT 게이트

(1 − σ z ) ⊗ (1 − σ x ). 마지막으로 위의 계획을 통해 보편적 인 것을 실현할 수 있습니다.

Josephson 접합에 의해 연결된 연결된 초전도체에 의한 양자 컴퓨터.

위에서 언급했듯이 큐비트에는 위상, 전하 및 플럭스 큐비트의 세 가지 유형이 있습니다.

이제 우리는 플럭스 큐비트의 실현으로 시작하고 다음을 만들었습니다.

가정:

• 모든 초과 교차 또는 부족 교차는 Josephson 교차로로 만들어집니다.

즉, 두 개의 초전도체 부품이 결합됩니다.

• 큐비트는 Hamil에 의해 추상적으로 설명된 Flux 큐비트에 의해 실현됩니다.

토니안

H =

큐 2

2C J

+

(Φ 0

2π

) 2

φ 2

2L

- E J 코스

[

φ − φ

2π

Φ 0

]

,

Φ 0 = c/2e, Φ 플럭스 퀀트 및 플럭스, 링의 L 인덕턴스, C J

접합 용량, E J 접합 에너지 및 φ 위상 변이.

상태는 대칭적인 |0〉 및 반대칭 중첩에 해당합니다.

tion |1〉 0 또는 단일 트랩된 플럭스 양자(때로는 시계 방향으로 표시됨)

및 반시계 방향 루프 전류 상태. 다양한 에너지 준위가 주어진다

서로 다른 (정수) 수의 자속 양자(매듭)

초전도 링. 따라서 플럭스 큐비트를 실현하려면 다음을 이해해야 합니다.

매듭된 초전도체의 모양과 플럭스(또는

더 나은 플럭스 양자화). 처음에 우리는 trefoil의 경우에 다음과 같이 말합니다.

매듭, 매듭된 초전도체의 플럭스는 두 개의 루프에 의해 제어될 수 있습니다.

a, b(매듭 그룹의 두 생성자), 세 번째 루프 c는 다음과 같이 결정됩니다.

관계 c = a -1 ba.

매듭이 있는 초전도체의 자속 특성은 [23 ] 에 설명되어 있습니다. 본관

이 작업의 결과는 공간을 고려하여 이러한 속성을 설명하는 것입니다.

매듭이 있는 초전도체 주변(마이스너 효과 사용). 그럼 (부터

형식적 관점) 매듭 완성에 대한 기능을 고려해야 합니다.

ment C(K) → U(1)은 자속을 생성하는 벡터 전위를 나타냅니다.

이 맵은 기본 그룹 π 1 (C(K)) → π 1 (U(1)) = Z의 맵을 유도합니다 .

여기서 정수로의 매핑은 비율 Φ/Φ 0 의 정수 부분으로 제공됩니다.

(플럭스 양자의 수). 이 지도는 플럭스 또는 더 나은

플럭션 양자화는 매듭에 의존하지 않습니다. [ 23] 에서 플럭스 양자화

trefoil처럼 매듭이 있는 매듭이 있는 초전도체에 대해 설명되었습니다.

매듭. 일반적으로 고리 C에 대해 잘 알려진 관계가 있습니다(Stokes 정리).

N =

1

Φ 0

˛

C=∂S

A =

1

Φ 0

ˆ

에스

에프

전자기 전위(1-형태로 표시)와 a를 통한 자속 사이

표면 S(디스크 D 2 ). 이 정리는 매듭 K로 일반화될 수 있습니다.

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모든 매듭 표면 S가 K 최소한 속 g 때문에 K = ∂S 그와 K는 .

unnot에만 속 0의 Seifert 표면이 있는 것으로 알려져 있습니다.

매듭 3 1 (trefoil) 및 4 1 (그림-8)은 속 1의 Seifert 표면을 갖습니다.

trefoil 매듭, 플럭스 양자화를 표현하는 간단한 그림이 발견되었으며,

[23 ] 참조 . 거기 에서 Seifert 표면을 통한 자속 Φ SS 는 다음과 같이 분해됩니다.

두 (약)의 선형 조합은 광속 Φ 보존 R , Φ Q 그래서 그

Φ SS = 3Φ R + 2Φ Q . 계수는 의 다른 표현으로 제공됩니다.

매듭군 π 1 (C(3 1 )) = 〈α, β | α 3 = β 2〉 (발생기가 다른 경우, 그림 2 참조

에서 [23 ]). trefoil 매듭은 토러스 매듭의 클래스에 속합니다. 즉, 닫힌 곡선입니다.

토러스 주위에 감기.

8자 매듭과 같은 토러스가 아닌 매듭의 경우 이러한 아이디어를 사용할 수 없습니다.

대신 우리는 다른 길을 갈 것입니다. 매듭 보완에는 경계가 있으며,

이것은 토러스입니다. 토러스에 대해 우리는 플럭스 양자화를 알고 있습니다. 포라 장군

매듭의 경우 매듭이 매듭 보완 내부에 어떻게 놓여 있는지 알아야 합니다. 에

플럭스 큐비트의 경우 경계 토러스(여기서

우리는 플럭스)가 매듭 그룹 표현 내부에 있다는 것을 알고 있습니다. 여기서 하나는

이러한 정보를 얻고 표현하기 위해 소위 A-다항식을 사용합니다.

플럭스 양자화. C(4 1 )를 그림 8 매듭의 매듭 보수라고 하자.

4 1 . 위에서 언급했듯이 이 매듭 보완은 쌍곡선 구조를 가지고 있습니다.

A-다항식을 정의하는 데 사용됩니다. 쌍곡선 구조가 주어진다

동형의 선택에 의해 π 1 (C(4 1 )) → SL(2, C) (접합까지).

모든 매듭점 보수 C(K)는 경계 ∂C(K) = T 2 를 갖습니다 . 문제

이제 토러스 경계가 모든 쌍곡선 구조의 공간 내부에 있는 방식입니다.

tures(문자 다양성) ChV(K) = Hom(π 1 (K),SL(2, C))/SL(2, C). 그때

ChV(4 1 ) 내부의 토러스 는 다항식의 0 세트로 정의되며,

A-다항식(자세한 내용은 [ 16 , 17] 참조). 그림 8 매듭 4 1 의 경우

A-다항식은 다음과 같이 주어집니다.

A(M,L) = −2 + M 4 + M −4 − M 2 − M −2 − L − L −1

A(±1,L)=(L-1) 2 L -1 의 분해 는 첫 번째 가능한 값을 제공합니다

(2, −1) 토러스(경사를 통해)가 ChV(4 1 )에 있는 방법(고유값으로 해석됨)

토러스 슬로프). 이제 우리는 이러한 고유값을 사용하여 분해를 얻을 수 있습니다.

두 (약)로 자속의 능은 자속 Φ 보존 R , Φ Q 그래서 그

Φ SS = 2Φ R − Φ Q 는 가능한 첫 번째 값입니다. 트레포일 매듭과 달리,

조합 Φ SS 에 대해 둘 이상의 가능한 값이 있습니다. 특히-

ular, 이 예는 플럭스 양자화가 더 복잡하다는 것을 보여주었습니다.

쌍곡선 매듭(토러스 매듭과 대조). 그런 다음 플럭스 큐비트의 경우

발전기에 따라 플럭스 Φ SS 의 다른 조합

매듭 그룹.

플럭스 큐비트에 대한 위의 논의는

플럭스, 연산 및 큐비트가 복잡합니다. 이제 우리는 다른

조작을 실현할 가능성. 위에서 우리는 Hamiltonian op-

H 1 및 H 1⊗2 를 사용하여 Josephson 접합을 설명합니다. 그곳에서 우리는 발견했다

위 또는 아래 교차점에서 Josephson 교차로가 있다는 흥미로운 결과

게이트와 동일한 효과를 가짐(매듭 그룹 표현의 요소로)

큐비트에서 작동합니다. 이러한 예상치 못한 행동의 원인은 다음과 같습니다.

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각각 |0〉과 |1〉 두 상태 사이의 에너지/전위차입니다. 에 대한

작업의 제어된 동작을 수행하려면 추가 Josephson 접합이 필요합니다.

모든 접합은 발전기로 표시되는 부분에 있습니다.

A, B, 매듭 그룹 C (도 참조 . 2). 위에서 논의한 바와 같이, 우리는 에너지를 줄일 수 있습니다

우리가 Hamiltonian을 얻을 수 있도록

H 1 = E · σ z + V e iφ σ x

접합부의 결합에 의해 유도된 위상 변이 φ로. 모든 분기점

1 큐비트 의 연산 exp(iH 1 t)를 발생 시킵니다.

매듭 그룹의 파견. 2큐비트 연산은 연결에 의해 유도됩니다.

연결 근처에 Josephson 접합을 추가해야 하는 경우(이는 또한

조셉슨 접합). 이 Josephson 접합은 Hamiltonian에 의해 설명됩니다.

H 1 및 연결과 함께 위 의 Hamiltonian H 1⊗2를 얻습니다 . 그럼 우리는

2 큐비트 연산 exp(iH 1⊗2 t)를 구합니다 .

디코히어런스(decoherence)에 대한 언급으로 이 섹션을 마치겠습니다. 매듭-

초전도체의 팅(위 및 아래에서 조셉슨 접합을 통해

교차) 상태를 안정화시키는 능력이 있는 자체 결합을 제공합니다. 우리

매듭이 있는 초전도체의 큐비트(플럭스 또는 위상 큐비트)가

디코히어런스 시간 증가. 차기작에서 다루도록 하겠습니다.

5. 결론

이 논문에서 우리는 양자 컴퓨팅에 3-다양체를 사용하는 몇 가지 아이디어를 제시했습니다.

잉. 위에서 설명한 것처럼 가장 좋은 대표자는 기본 그룹입니다.

다양성. 기본 그룹은 변형까지의 닫힌 곡선 세트입니다.

호모토피까지 그룹 작업으로 연결. 마다 하는 것으로 알려져 있다

3-매니폴드는 모든 조각이 운반할 수 있도록 간단한 조각으로 분해될 수 있습니다.

기하학적 구조(8개 클래스 중). 원칙적으로 조각은 완전한 구성 요소로 구성됩니다.

매듭과 링크의 설명. 그런 다음 매듭 보완의 기본 그룹,

매듭 그룹으로 알려진 매듭 또는 링크의 중요한 불변입니다. 왜 안돼

양자 컴퓨팅에 이 매듭 그룹을 사용하시겠습니까? [24 , 25, 26, 27] M. Planat et.al.

매듭 그룹의 표현과 양자 컴퓨팅의 사용법을 연구했습니다.

여기에서 우리는 매듭이 있는 초전도체에 의한 매듭 보완의 실현에 대해 논의했습니다.

교차점이 Josephson 교차점인 토르. 큐비트는 다음과 같이 주어진다.

플럭스 큐비트이지만 위상 큐비트도 논의합니다. [ 2 ]와 같이 매듭 그룹은

연산을 결정하고 매듭에 대한 모든 1큐비트 연산을 얻었습니다. 그때

우리는 두 개의 매듭을 연결하여 2-큐비트 연산의 구성에 대해 논의했습니다.

초전도체.

감사의 말

유익한 논평을 해주신 익명의 심사위원님께 감사드립니다.

이 문서의 가독성.

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